重庆市南开中学高2027届高三质量检测(2026.10)数学试题

19.(17分)已知定义在区间I上的可导函数f(x)的导函数为f(x),若F(x)=f(x)+f(x),则称F(x)为f(x)在I上的“衡稳函数”，F(x)在I上的零点为f代x)的“衡稳点”.已知函数p(x)=x2-2x,g(x)=e-2x,e≈2.71828…为自然对数的底数.(1)判断(x),g(x)在R上是否存在“衡稳点”.若存在，则分别求出该“衡稳点”，若不存在，说明理由；(2)记g(x)在R上的“衡稳函数”为G(x),若Vx≥0，不等式G(x)≥αx2恒成立，求实数a的取值范围；(3)令h(x)=g(x)+b(xcosx-xsix-cosx),若h(x)在[0，r]上有且仅有两个“衡稳点”，求实数b的取值范围.